Меню

Ламинарный режим в круглой цилиндрической трубе



ЛАМИНАРНЫЙ РЕЖИМ В КРУГЛОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЕ

Рис. 4.6

Определим основные закономерности ламинарного режима при равномерном движении в круглых трубах, ограничиваясь (для упрощения вывода) случаями, когда ось трубы горизонтальна. При этом будем рассматривать уже сформировавшийся поток, т. е. поток на участке, начало которого находится от входного сечения трубы на расстоянии, обеспечивающем стабилизированный вид распределения скоростей по сечению потока.

Имея в виду сделанное ранее определение ламинарного режима, при котором движение имеет слоистый (струйный) характер и происходит без перемешивания частиц, следует считать, что при этом будут иметь место только скорости, параллельные оси трубы, поперечные же скорости отсутствуют. Можно представить себе, что в таком случае движущаяся жидкость как бы разделяется на бесконечно большое число бесконечно тонких, концентрично расположенных цилиндрических слоев, параллельных оси трубопровода и движущихся один внутри другого с различными скоростями, увеличивающимися в направлении от стенок к оси трубы (рис. 4.6). При этом скорость в слое, непосредственно соприкасающемся со стенками, вследствие прилипания равна нулю, а максимального значения она достигает в слое, движущемся по оси трубы.

Принятая схема движения и введенные выше упрощающие предположения позволяют установить закон распределения скоростей в поперечном сечении потока и получить расчетные зависимости для определения расхода жидкости и потери напора на трение по длине потока.

Будем исходить из установленного ранее общего выражения для градиента скорости (1.15), которое для течения в трубах нужно записывать следующим образом;

Знак минус здесь берется потому, что с увеличением у, скорость y убывает, т. е. dv/dy отрицательно, а напряжение t — величина существенно положительная.

В действительности жидкость, которая поступает в трубу, должна пройти от входного сечения определенный участок, прежде чем в трубе установится соответствующий ламинарному режиму параболический закон распределения скоростей.

Развитие ламинарного режима в трубе можно представить следующим образом. Пусть, например, жидкость входит в трубу из резервуара большого размера и кромки входного отверстия хорошо закруглены. В этом случае скорости во всех точках входного поперечного сечения будут почти одинаковы, за исключением весьма тонкого так называемого пограничного (или пристенного) слоя вблизи стенок, в котором вследствие прилипания жидкости к стенкам происходит почти внезапное падение скорости до нуля. Поэтому кривая скоростей во входном сечении может быть представлена достаточно точно в виде отрезка прямой .

По мере удаления от входа слои жидкости, соседние с пограничным слоем, вследствие трения у стенок начинают затормаживаться, толщина этого слоя постепенно увеличивается, а дви- жение в нем, наоборот, замедляется. Центральная же часть потока (ядро течения), еще не захваченная трением, продолжает двигаться как одно целое с примерно одинаковой для всех слоев скоростью, причем (вследствие того, что количество протекающей жидкости остается неизменным) замедление движения в пограничном слое неизбежно вызывает увеличение скорости в ядре.

Таким образом, в середине трубы, в ядре, скорость течения все время возрастает, а у стенок, в растущем пограничном слое, уменьшается. Это происходит до тех пор, пока пограничный слой не захватит всего сечения потока и ядро не будет сведено к нулю. На этом формирование потока заканчивается и кривая скоростей принимает обычную для ламинарного режима параболическую форму.

Входной участок трубы, на котором складывается постоянная параболическая картина распределения скоростей, носит название начального участка ламинарного режима. Длина этого участка определяется по формуле

На механизм турбулентного потока большое влияние оказывает состояние ограничивающих его твердых стенок, всегда в той или иной степени обладающих известной шероховатостью.

Шероховатость характеризуется величиной и формой различных, порой самых незначительных по размерам, выступов и неровностей, имеющихся на стенках, и зависит от материала стенок и их обработки. Обычно с течением времени шероховатость изменяется от появления ржавчины, коррозии, отложения

В качестве основной характеристики шероховатости служит так называемая абсолютная шероховатость Ь, представляющая собой среднюю величину указанных выступов и неровностей, измеренную в линейных единицах (рис. 4.19, а). Абсолютная шероховатость труб, мм:

Чистых цельнотянутых из латуни, меди, свинца 0,01

Новых цельнотянутых стальных . 0,05—0,15

Стальных с незначительной коррозией . 0,20—0,30

Новых чугунных . 0,30

Старых стальных ……………. 0,50—2,00

Пусть (рис. 4.19, б) выступы шероховатости будут меньше, чем толщина вязкого (ламинарного) подслоя (k dв.с.), неровности стенок бу-
дут выступать в турбулентную область, увеличивать тем самым

беспорядочность движения и существенным образом влиять на потерю энергии. В этом случае каждый отдельный выступ можно уподобить плохо обтекаемому телу, находящемуся в окружающем его потоке жидкости и являющемуся источником образования вихрей (рис. 4.20).

В соответствии со сказанным в гидравлике различают поверхности гидравлически гладкие(k dв.с.).

Конечно, такое деление является условным. На самом деле, как уже указывалось, толщина вязкого подслоя непостоянна и уменьшается с увеличением числа Рейнольдса. У гидравлически гладких стенок с возрастанием числа Рейнольдса начинает проявляться их шероховатость, так как вязкий подслой становится тоньше и выступы шероховатости, которые первоначально полностью располагались в этом слое, начинают выходить из него, выступая в турбулентную зону. Следовательно, одна и та же стенка в зависимости от числа Рейнольдса может вести себя по-разному: в одном случае — как гладкая, а в другом — как шероховатая. Поэтому абсолютная шероховатость не может полностью характеризовать влияние стенок на движение жидкости. Естественно, что стенки с одной и той же абсолютной шероховатостью в потоках небольших поперечных размеров должны будут вносить большие возмущения в поток жидкости и оказывать большее сопротивление движению, чем в потоках большого сечения.

Для характеристики влияния шероховатости на гидравлические сопротивления с учетом условий соблюдения подобия в гидравлике вводится понятие относительной шероховатости e, под которой понимается безразмерное отношение абсолютной шероховатости к некоторому линейному размеру, характеризующему сечение потока (например, к радиусу трубы r, глубине жидкости в открытом потоке h и др.). Таким образом,

В некоторых случаях вводится также понятие «относительной гладкости» e’ — величины, обратной относительной шероховатости:

В действительности, однако, как показали исследования, на гидравлические сопротивления влияет не только абсолютное значение шероховатости (высоты выступов), но в значительной степени и форма выступов, густота и характер их расположения. Следует различать стенки с равномерной и неравномерной шероховатостью. Равномерная шероховатость обычно создается искусственно при различного рода лабораторных исследованиях. Стенки же промышленных трубопроводов, как правило, характеризуются неравномерной шероховатостью с большим разбросом величин выступов относительно их среднего значения.

Трубы с равномерной шероховатостью можно считать гидравлически гладкими, если

Для труб с неравномерной шероховатостью для этого необходимо, чтобы

Поскольку учесть влияние всех перечисленных выше факторов непосредственными измерениями невозможно, в настоящее время для характеристики шероховатости стенок промышленных труб при гидравлических расчетах обычно используют понятие так называемой эквивалентной шероховатости k1. Эта шероховатость представляет собой такую величину выступов однородной абсолютной шероховатости, которая дает при подсчетах одинаковую с действительной шероховатостью величину потери напора. Значения эквивалентной шероховатости определяют на основании гидравлических испытаний трубопроводов и пересчета их результатов по соответствующим формулам.

Источник

ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ В КРУГЛЫХ ТРУБАХ

При рассмотрении уравнений Навье-Стокса для движения вязкой жидкости было отмечено, что прямое интегрирование их в большинстве случаев связано с практически непреодолимыми на сегодняшний день математическими трудностями. Однако известны и исключения. К числу их относится установившееся течение в круглой трубе, происходящее под действием постоянного перепада давлений — течение Пуазейля. Мы воспользуемся иным способом решения этой задачи, позволяющим получить ясные физические представления о характеристиках течения.

Итак, рассмотрим установившееся ламинарное течение в горизонтальной трубе радиуса R, происходящее под действием постоянного перепада давления (см. рисунок).

Двумя сечениями, отстоящими на расстоянии l друг от друга, выделим отсек трубопровода, и в нем цилиндр радиуса r. Так как течение установившееся, то сумма проекций на ось трубы всех сил, действующих на выделенный жидкий цилиндр, должна быть равна нулю. Иначе говоря, силам давления, приводящим частицы жидкости в движение, противодействуют силы трения, действующие на боковой поверхности цилиндра.

Сила давления: .

Сила сопротивления (трения слоев жидкости): , где τ — касательное напряжение трения.

Таким образом: и

Откуда, в частности, следует, что касательные напряжения изменяются вдоль радиуса по линейному закону. В соответствии с формулой Ньютона для вязкости жидкости касательные напряжения определяются соотношением:

Знак «минус» в этом выражении объясняется тем, что касательные напряжения направлены противоположно течению.

Читайте также:  Ева проходимость маточных труб

Приравнивая правые части вышеуказанных формул, получаем:

Разделяя переменные и интегрируя, получим:

Постоянная интегрирования находится из условия прилипания (слой жидкости, непосредственно прилегающий к стенке, не имеет скорости относительно стенки – «прилипает» к ней),

т.е. при и соответственно

Как следует из полученного соотношения, максимальная скорость движения частиц будет иметь место на оси трубы, т.е. при , а ее величина

Подставляя полученную зависимость в предыдущее выражение, получим

Таким образом, в поперечном сечении трубы скорости распределены по параболическому закону, т.е. эпюра скоростей представляет собой параболоид вращения.

Выражение для эпюры скоростей можно представить в виде

,

из чего следует, что безразмерная скорость (отношение скорости в любой точке сечения к скорости на оси потока) при ламинарном течении в трубе не зависит от расхода, рода жидкости, материала стенок трубы и при всех значениях в сходственных точках поперечного сечения она одинакова.

Определим расход, протекающий через трубопровод.

где — эпюра скоростей, а 2πrdr – площадь кольца, радиусом r и толщиной dr, в пределах которого скорость можно считать постоянной (величина dr – суть бесконечно малая).

Подставляя выражение для эпюры скоростей, получим:

Интегрируя по сечению трубы и имея в виду соотношение для скорости на оси трубы:

,

Полученное соотношение носит название формулы Хагена-Пуазейля, из него следует, в частности, что

Используя вышеприведенную формулу, можно получить уравнение для определения потерь давления при ламинарном режиме течения в круглой трубе:

Либо, заменив радиус трубы ее диаметром, получим:

Для потерь напора с учетом того, что , формула принимает вид:

Важнейший вывод, следующий из этого соотношения, можно сформулировать так: потери давления (напора) при ламинарном течении в круглых трубах линейно зависят от средней скорости.

Преобразуем полученное соотношение, а именно, умножим числитель и знаменатель на 2V, что дает:

Несколько забегая вперед, заметим, что полученное соотношение отражает закон сопротивления для ламинарного течения в круглой трубе: , где λ – коэффициент гидравлического сопротивления, определяемый формулой Дарси-Вейсбаха:

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Ламинарный режим движения жидкости

Движение жидкости, наблюдаемое при малых скоростях, при котором отдельные струйки жидкости движутся параллельно друг другу и оси потока, называют ламинарный режим движения жидкости.

В этой статье подробно описывается процесс ламинарного режима, переход в ламинарного режима из турбулентный, формула и закон этого режима и многое другое.

Очень наглядное представление о ламинарном режиме движения жидкости можно получить из опыта Рейнольдса. Подробное описание здесь.

Содержание статьи

Ламинарный режим движения в опытах

Жидкая среда вытекает из бака через прозрачную трубу и через кран уходит на слив. Таким образом жидкость течет с определенным небольшим и постоянным расходом.

На входе в трубу установлена тонкая трубочка по которой в центральную часть потока поступает подкрашенная среда.

При попадании краски в поток жидкости движущейся с небольшой скоростью красная краска будет двигаться ровной струйкой. Из этого опыта можно сделать вывод о слоистом течении жидкости, без перемешивания и вихреообразования.

Такой режим течения жидкости принято назыать ламинарным.

Рассмотрим основные закономерности ламинарного режима при равномерном движении в круглых трубах, ограничиваясь случаями, когда ось трубы горизонтальна.

При этом мы будем рассматривать уже сформировавшийся поток, т.е. поток на участке, начало которого находится от входного сечения трубы на расстоянии, обеспечивающем окончательный устойчивый вид распределения скоростей по сечению потока.

Имея ввиду, что ламинарный режим течения имеет слоистый(струйный) характер и происходит без перемешивания частиц, следует считать, что в ламинарном потоке будут иметь место только скорости, параллельные оси трубы, поперечные же скорости будут отсутствовать.

Можно представить себе, что в этом случае движущаяся жидкость как бы разделяется на бесконечно большое число бесконечно тонких цилиндрических слоев, параллельных оси трубопровода и движущихся один внутри другого с различными скоростями, увеличивающимися в направлении от стенок к оси трубы.

При этом скорость в слое, непосредственно соприкасающемся со стенками из-за эффекта прилипания равна нулю и достигает максимального значения в слое, движущемся по оси трубы.

Формула ламинарного режима течения

Принятая схема движения и введенные выше предположения позволяют теоретическим путем установить закон распределения скоростей в поперечном сечении потока при ламинарном режиме.

Читайте также:  Если забиты трубы у женщин что делать

Для этого сделаем следующее. Обозначим внутренний радиус трубы через r и выберем начало координат в центре её поперечного сечения O, направив ось х по оси трубы, а ось z по вертикали.

Теперь выделим внутри трубы объем жидкости в виде цилиндра некоторого радиуса y длиной L и применим к нему уравнение Бернулли. Так как в следствии горизонтальности оси трубы z1=z2=0, то

где R – гидравлический радиус сечения выделенного цилиндрического объема = у/2

τ – единичная сила трения = — μ * dυ/dy

Подставляя значения R и τ в исходное уравнение получим

Задавая различные значения координаты y, можно вычислить скорости в любой точке сечения. Максимальная скорость, очевидно, будет при y=0, т.е. на оси трубы.

Для того, чтобы изобразить это уравнения графически, необходимо отложить в определенном масштабе от некоторой произвольной прямой АА скорости в виде отрезков, направленных по течению жидкости, и концы отрезков соединить плавной кривой.

Полученная кривая и представит собой кривую распределения скоростей в поперечном сечении потока.

График изменения силы трения τ по сечению выглядит совсем по другому. Таким образом, при ламинарном режиме в цилиндрической трубе скорости в поперечном сечении потока изменяются по параболическому закону, а касательные напряжения – по линейному.

Полученные результаты справедливы для участков труб с вполне развитым ламинарным течением. В действительности, жидкость, которая поступает в трубу, должна пройти от входного сечения определенный участок, прежде чем в трубе установится соответствующий ламинарному режиму параболический закон распределения скоростей.

Развитие ламинарного режима в трубе

Развитие ламинарного режима в трубе можно представить себе следующим образом. Пусть, например, жидкость входит в трубу из резервуара большого размеры, кромки входного отверстия которого хорошо закруглены.

В этом случае скорости во всех точках входного поперечного сечения будут практически одинаковы, за исключением очень тонкого, так называемого пристенного слоя(слоя вблизи стенок), в котором вследствие прилипания жидкости к стенкам происходит почти внезапное падение скорости до нуля. Поэтому кривая скоростей во входном сечении может быть представлена достаточно точно в виде отрезка прямой.

По мере удаления от входа, вследствие трения у стенок, слои жидкости, соседние с пограничным слоем, начинают затормаживаться, толщина этого слоя постепенно увеличивается, а движение в нем, наоборот, замедляется.

Центральная же часть потока (ядро течения), еще не захваченная трением, продолжает двигаться как одно целое, с примерно одинаковой для всех слоев скоростью, причем замедление движения в пристенном слое неизбежно вызывает увеличение скорости в ядре.

Таким образом, в середине трубы, в ядре, скорость течения все время возрастает, а у стенок, в растущем пограничном слое, уменьшается. Это происходит до тех пор, пока пограничный слой не захватит всего сечения потока и ядро не будет сведено к нулю. На этом формирование потока заканчивается, и кривая скоростей принимает обычную для ламинарного режима параболическую форму.

Переход от ламинарного течения к турбулентному

Ламинарное течения жидкости при некоторых условиях способно перейти в турбулентное. При повышении скорости течения потока слоистая структура потока начинает разрушаться, появляются волны и вихри, распространение которых в потоке говорит о нарастающем возмущении.

Постепенно количество вихрей начинает возрастать, и возрастает пока струйка не разобьется на множество перемешивающихся между собой более мелких струек.

Хаотичное движение таких мелких струек позволяет говорить о начале перехода ламинарного режима течения в турбулентное. С увеличением скорости ламинарное течение теряет свою устойчивость, при этом любые случайные небольшие возмущения, которые раньше вызывали только лишь малые колебания, начинают быстро развиваться.

Видео о ламинарном течении

В бытовом случае переход одного режима течения в другой можно отследить на примере струи дыма. Сначала частицы движутся практически параллельно по неизменяемым во времени траекториям. Дым практически неподвижен. Со временем в некоторых местах вдруг возникают крупные вихри, которые двигаются по хаотичным траекториям. Эти вихри распадаются на более маленькие, те – на еще более мелкие и так далее. В конце концов, дым практически смешивается с окружающим воздухом.

Источник